Zwei Größen, ein Symbol
Das Prozentzeichen erfüllt zwei Aufgaben und sie ergeben unterschiedliche Zahlen.
Eine Zentralbank erhöht den Zinssatz von 4 % auf 5 %.
- Die prozentuale Änderung beträgt 1. Das ist eine Subtraktion: 5 minus 4. - Die prozentuale Änderung beträgt 25 %. Das ist Division: der Anstieg von 1 relativ zu den anfänglichen 4.
Beides ist richtig. Sie beschreiben dasselbe Ereignis und sind nicht austauschbar, und wenn die Basis klein ist, wird der Abstand zwischen ihnen enorm – eine Bewegung von 0,5 % auf 1 % entspricht einem halben Prozentpunkt und einer Verdoppelung.
Die Konvention, die das Problem löst, besteht darin, Prozentpunkt für die Subtraktion und Prozent für das Verhältnis anzugeben und es niemals dem Kontext zu überlassen.
Prozentsätze multiplizieren sich, sie addieren nicht
Dies ist der Teil, der Menschen mit Zahlen anspricht, die ihnen wichtig sind.
Ein Preis fällt um 50 % und steigt dann um 50 %. Es ist nicht wieder da, wo es angefangen hat – es ist bei 75 % des Originals. Jeder Prozentsatz wurde auf eine andere Basis angewendet: Der Rückgang betrug die Hälfte von 100, der Anstieg fügte die Hälfte von 50 hinzu.
100 -> -50% -> 50 -> +50% -> 75
Um sich von einem 50-prozentigen Sturz zu erholen, braucht man einen 100-prozentigen Anstieg. Aus einem Rückgang um 20 % ergibt sich ein Anstieg um 25 %. Aus einem Rückgang um 90 % ergibt sich ein Anstieg um 900 %. Die erforderliche Wiederherstellung wächst viel schneller als der Verlust, der sie verursacht hat, weshalb die Asymmetrie genau dort am wichtigsten ist, wo sie am wenigsten intuitiv ist.
Eine Erhöhung rückgängig zu machen, ist eine Teilung
Verwandte und ebenso häufige:
wrong: original = final - 20% of final
right: original = final / 1.20
Ein Preis, der um 20 % auf 120 stieg, begann bei 100. Subtrahiert man 20 % von 120, erhält man 96, was vier Short-Werten entspricht. Der Fehler ist der Prozentsatz im Quadrat – hier 4 % und 25 %, wenn ein Anstieg um 50 % umgedreht wird – er ist also klein genug, um bei einer kleinen Änderung übersehen zu werden, und schwerwiegend bei einer großen Änderung.
Dies ist genau die Arithmetik, die hinter dem Abzug der Steuer von einem Gesamtbetrag steht, weshalb derselbe Fehler auf Quittungen und Rechnungen auftritt.
Was eigentlich „niedrigste Konditionen“ bedeutet
Das Reduzieren eines Bruchs ändert seinen Wert nicht. 20/120, 10/60 und 1/6 sind eine Zahl, die auf drei Arten geschrieben wird.
Was sich durch Reduktion ändert, ist was eine Person damit machen kann. Ein Sechstel von 120 ist offensichtlich 20. Zwanzighundertzwanzigstel von 120 ist die gleiche Antwort und niemand kann sie sehen.
Das ist der ganze Zweck: Vergleichbarkeit und Kopfrechnen. Dies ist auch der Grund, warum Steuerbehörden neben einem Satz einen gekürzten Bruch und nicht die Division veröffentlichen – und warum es sich lohnt, über Brüche zu wissen, die sich nicht kürzen lassen, da es sich dabei um Fälle handelt, in denen es keine Abkürzung gibt und der Taschenrechner die ehrliche Antwort ist.
Der gleiche Gewinn, zwei Prozente
Das teuerste Beispiel für „Was ist das für ein Prozentsatz?“ ist die Preisgestaltung, bei der eine Zahl zwei Namen hat, je nachdem, durch was sie dividiert wird.
Verkaufen Sie etwas, das 60 kostet, für 100. Der Gewinn beträgt 40, und diese einzige Tatsache ist eine Gewinnmarge von 40 % und ein Aufschlag von 66,67 % – Marge dividiert durch den Preis, Markup dividiert durch die Kosten. Beide sind korrekt, keines ist eine Rundung des anderen, und die Lücke wird größer, je höher die Zahlen sind: Ein Aufschlag von 50 % entspricht einer Marge von 33,3 %, ein Aufschlag von 100 % entspricht einer Marge von 50 %.
Der Fehler, und er kommt häufig vor, besteht darin, in einem Ziel ein Ziel festzulegen und es in dem anderen anzuwenden. Das Streben nach einer Marge von 40 % durch Addition von 40 % zu den Kosten ergibt einen Preis von 84, einen Gewinn von 24 und eine Marge von 28,57 % – sechzehn weniger pro Einheit, aufgrund eines Rechenfehlers, der zu einem völlig plausiblen Preis führt.
Es handelt sich um die gleiche „Dividieren, nicht subtrahieren“-Form wie das Umkehren einer Erhöhung, und zwar aus demselben Grund: Eine Marge wird am Preis gemessen, also an der Zahl, die Sie noch nicht haben.
margin = profit / priceDie Definition. Der Gewinn wird am Preis gemessen, das ist die Zahl, die Sie noch nicht haben.
price - cost = profitUnd der Gewinn ist das, was der Preis nach den Kosten übrig lässt.
price x (1 - margin) = costErsetzen und neu anordnen. Die Kosten sind der Anteil des Preises, den die Marge nicht einnimmt.
price = cost / (1 - margin)Teilen. Eine Marge von 40 % bei Kosten von 60 beträgt 60 / 0,6, also 100 – nicht die 84, die die Addition von 40 % ergibt.
Alle Werte
| Zielmarge | Verkaufspreis | Erforderlicher Aufschlag | Gewinn |
|---|---|---|---|
| 5% | 63,16 | 5,26% | 3,16 |
| 10% | 66,67 | 11,11% | 6,67 |
| 15% | 70,59 | 17,65% | 10,59 |
| 20% | 75 | 25,00% | 15 |
| 25% | 80 | 33,33% | 20 |
| 30% | 85,71 | 42,86% | 25,71 |
| 35% | 92,31 | 53,85% | 32,31 |
| 40% | 100 | 66,67% | 40 |
| 45% | 109,09 | 81,82% | 49,09 |
| 50% | 120 | 100,00% | 60 |
| 55% | 133,33 | 122,22% | 73,33 |
| 60% | 150 | 150,00% | 90 |
| 65% | 171,43 | 185,71% | 111,43 |
| 70% | 200 | 233,33% | 140 |
| 75% | 240 | 300,00% | 180 |
| 80% | 300 | 400,00% | 240 |
Auch die Marge hat eine Obergrenze von 100 %, die sie nie erreichen kann, da der Gewinn den Preis nicht übersteigen kann. Für das Markup gibt es überhaupt keine Obergrenze. Zwei Prozentsätze, ein Gewinn und im oberen Bereich fast keine Gemeinsamkeiten.
Eine Implementierungsfalle
Einen Bruch zu kürzen bedeutet, beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu dividieren, und der größte gemeinsame Teiler ist für ganze Zahlen definiert.
Ein aus einer Dezimalzahl abgeleiteter Bruch muss also zunächst auf ganze Zahlen skaliert werden. Aus 13,5/113,5 muss 135/1135 werden, bevor es auf 27/227 reduziert werden kann. Reduzieren Sie vor der Skalierung, und die Antwort ist stillschweigend falsch – während alle ganzzahligen Fälle weiterhin perfekt funktionieren, was es so einfach macht, den Fehler zu beheben.
Fragen
Was ist der Unterschied zwischen einem Prozentsatz und einem Prozentpunkt?
Ein Prozentpunkt ist die arithmetische Differenz zwischen zwei Prozentsätzen; Eine prozentuale Änderung ist die relative Differenz. Der Anstieg von 4 % auf 5 % bedeutet einen Anstieg um einen Prozentpunkt und um 25 %. Beides ist wahr, es handelt sich um unterschiedliche Zahlen, und wenn man sie vertauscht, kann die Änderung um einen enormen Faktor über- oder unterbewertet werden, wenn die Basis klein ist.
Warum braucht ein Rückgang um 50 % einen Anstieg um 100 %, um sich zu erholen?
Weil jeder Prozentsatz auf einer anderen Basis berechnet wird. Die Halbierung von 100 ergibt 50, und von 50 auf 100 zurückzukehren bedeutet, 50 zu einer Basis von 50 zu addieren – also 100 % davon. Prozentuale Änderungen führen nicht zum Hinzufügen oder Aufheben; sie vermehren sich. Ein Rückgang um 50 % und ein Anstieg um 50 % führen dazu, dass Sie bei 75 liegen und nicht wieder dort, wo Sie angefangen haben.
Wie kann ich eine prozentuale Erhöhung rückgängig machen?
Dividieren, nicht subtrahieren. Wenn ein Preis um 20 % auf 120 steigt, ist das Original 120 dividiert durch 1,2, also 100 – und nicht 120 minus 20 %, was 96 ergibt. Der Fehler ist das Quadrat des Prozentsatzes und wächst daher schnell: Die Umkehrung einer 50-prozentigen Erhöhung durch Subtraktion ergibt 25 % des Originals.
Wofür ist ein Bruch im niedrigsten Sinne?
Es ist die gleiche Zahl, geschrieben mit den kleinsten ganzen Zahlen, die sie ausdrücken können, was zwei Brüche auf einen Blick vergleichbar macht und Kopfrechnen möglich macht. 20/120 und 1/6 sind die gleiche Menge; Nur einer von ihnen sagt einem sofort, dass ein Sechstel der Gesamtsumme Steuern sind.