Vereinfachen Sie einen Bruch

Was das bringt

Zwei Brüche können völlig unterschiedlich aussehen und die gleiche Zahl sein. Die Einstufung in die niedrigste Form macht zwei von ihnen vergleichbar, und es ist der Schritt, der aus einer Antwort eine Note in einem Übungsheft macht und nicht einen Streit darüber, ob 22/51 und 462/1071 dasselbe sind.

Dieses Tool erledigt dies und gibt dann die drei anderen Möglichkeiten an, auf die derselbe Wert geschrieben wird: die gemischte Zahl, die Dezimalzahl und den Prozentsatz. Die Dezimalzahl ist interessant, weil die meisten Brüche überhaupt keine endliche Dezimalzahl haben und ein Taschenrechner, der neun Stellen zurückgibt und anhält, die Zahl stillschweigend geändert hat.

Die Methode

Die beiden Felder werden als die Dezimalzahlen gelesen, als die sie eingegeben wurden, nicht als die Binärwerte, in denen ein Browser sie speichert. Beide werden dann mit derselben Zehnerpotenz multipliziert, bis sie ganze Zahlen sind. Dieser Schritt ist zulässig, da die Multiplikation der Ober- und Unterseite mit derselben Zahl nie den Wert eines Bruchs ändert; Dies ist auch der Grund, warum die Zehnerpotenz aus der längeren der beiden Eingaben stammen muss, da die Skalierung nur so weit reicht, dass eine von ihnen nur einen Bruchteil davon übrig lässt.

Von da an ist alles Ganzzahlarithmetik. Euklids Algorithmus ermittelt den größten gemeinsamen Teiler: Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere, dividieren Sie dann die kleinere durch den Rest und wiederholen Sie den Vorgang, bis der Rest Null ist. Der in dieser letzten Zeile verwendete Teiler ist der größte gemeinsame Teiler, und die Division beider Hälften durch ihn ist die ganze Vereinfachung. Die Schritte werden in einer Tabelle unter dem Ergebnis angezeigt, da diese Tabelle eher der Beweis der Antwort als eine Dekoration ist.

Die Dezimalzahl entsteht durch lange Division und nicht dadurch, dass man zwei Zahlen dividiert und dann schaut, was dabei herauskommt. Jeder Schritt multipliziert den Rest mit zehn und dividiert erneut, und jeder gesehene Rest wird aufgezeichnet. Es gibt nur so viele mögliche Reste wie der Nenner, daher muss die Sequenz entweder Null erreichen oder einen bereits vorhandenen wiederholen – und die erste Wiederholung ist genau dort, wo der wiederkehrende Block beginnt. Aus diesem Grund kann man den Klammern vertrauen: Sie sind kein Mustervergleich der Ziffern, sondern der Punkt, an dem die Teilung nachweislich begonnen hat, sich zu drehen.

Vor dem Weiterlesen

Euklids Algorithmus zu 1071 und 462 endet mit der Zeile 147 = 7 x 21 + 0. Was ist der größte gemeinsame Teiler?

• A7 – die Zahl, durch die es geteilt wurde.

  Das ist der Quotient auf dieser Geraden. Der Algorithmus verwendet die Quotienten niemals für irgendetwas.

• B21.

  Ja: der Divisor auf der Linie, wo der Rest Null erreicht hat.

• C147 – die letzte Zahl, die eingegeben wurde.

  Das ist die Dividende. 147 teilt 462 nicht, daher kann es hier kein gemeinsamer Teiler von irgendetwas sein.

21 – der Divisor auf der Linie, wo der Rest Null erreicht. Beide Hälften dadurch zu dividieren, ist die ganze Vereinfachung: 1071/21 = 51 und 462/21 = 22, und 51/22 kann nicht weiter reduziert werden, weil 21 die größte Zahl dieser Art und nicht nur eine praktische Zahl war. Der Algorithmus ist etwa 2.300 Jahre alt und immer noch der schnellste Weg, dies zu tun; Die Tabelle unter dem Ergebnis gibt jede Zeile aus, da diese Tabelle eher der Beweis der Antwort als eine Dekoration ist.

1. 1071 = 2 x 462 + 147

   Teilen Sie das größere durch das kleinere und behalten Sie den Rest. Alles, was sowohl 1071 als auch 462 teilt, muss auch 147 teilen.

2.  462 = 3 x 147 +  21

   Das Problem ist nun also das kleinere Paar, 462 und 147 – die gleiche Frage zu kleineren Zahlen.

3.  147 = 7 x  21 +   0

   Der Rest ist Null, also hör auf. 21 teilt genau 147, und durch die Linie darüber wird also alles geteilt, was davor war.

4. 1071 / 21 = 51,  462 / 21 = 22

   Teilen Sie beide Hälften dadurch. 51/22 ist am niedrigsten.

Ein gelungenes Beispiel

Vereinfachen Sie 1071/462, das Paar, mit dem Euklids Algorithmus normalerweise gelehrt wird.

In seiner niedrigsten Form	51/22
Als gemischte Zahl	2 7/22
Als Dezimalzahl	2.3(18)
Storniert von	21
Gerundete Dezimalzahl	2.31818182
In Prozent	231,8182 %

Die Arbeit:

1071 = 2 x 462 + 147
 462 = 3 x 147 +  21
 147 = 7 x  21 +   0     <- last divisor, so gcd = 21

1071 / 21 = 51
 462 / 21 = 22

51 / 22 = 2 remainder 7  ->  2 and 7/22

long division of 7 by 22, remainders in the margin:
  0.3   remainder 4
  0.31  remainder 18
  0.318 remainder 4      <- 4 has been seen, so 18 repeats

Die Dezimalzahl ist also 2,3(18) und 2,3181818… ist exakt und nicht gerundet. Dies sind die gleichen Zahlen, die in der Testdatei dieses Tools angegeben sind. Wenn sich also die Formel jemals ändert, ohne dass sich diese Seite mit ändert, schlägt der Build fehl.

Was es nicht tut

Es vereinfacht jeweils einen Bruch und addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert nicht zwei davon. Es kann keine wiederkehrende Dezimalzahl als Eingabe akzeptiert werden – es gibt keine Möglichkeit, „Nullpunkt drei wiederkehrend“ in ein Zahlenfeld einzugeben, daher wird 0,333 genau so gelesen und auf 333/1000 reduziert. Es wird kein einfacherer Bruch gefunden, der nur nahe am eingegebenen Wert liegt, was eine andere Aufgabe als die Vereinfachung ist und zu einem anderen Ergebnis führt. Und wo eine ganze Zahl über das hinauswächst, was eine Doppelzahl in Einsen zählen kann, werden die Zahlenkästchen nach unten verschoben und zeigen einen Bindestrich; Der Bruch, die gemischte Zahl und die Dezimalzahl sind Text und bleiben exakt.

Ein Bruch ist auch ein Verhältnis. Wenn die Frage darunter lautet, um wie viel größer eine Zahl als eine andere ist, ergibt eine prozentuale Erhöhung die gleiche Beziehung in der Form, die die meisten Leute erwarten, wenn sie sie lesen.