یک کسر را ساده کنید

این ابزار چه چیزی را محاسبه می‌کند

دو کسر می‌توانند کاملاً متفاوت به نظر برسند و یک عدد باشند. بردن یک کسر به ساده‌ترین شکلش همان کاری است که دو کسر را قابل مقایسه می‌کند، و همان گامی است که به‌جای بحث بر سر اینکه ۲۲/۵۱ و ۴۶۲/۱۰۷۱ یکی هستند یا نه، پاسخ را به نمره‌ای در دفتر تمرین تبدیل می‌کند.

این ابزار همین کار را می‌کند و سپس سه شکل دیگر نوشتن همان مقدار را می‌دهد: عدد مخلوط، اعشار و درصد. اعشار جالب‌ترینشان است، چون بیشتر کسرها اصلاً اعشار متناهی ندارند، و ماشین‌حسابی که نُه رقم تحویل می‌دهد و می‌ایستد، بی‌سروصدا خود عدد را عوض کرده است.

روش

دو کادر همان اعشاری خوانده می‌شوند که تایپ شده‌اند، نه مقدارهای دودویی‌ای که مرورگر نگهشان می‌دارد. سپس هر دو در یک توان ده ضرب می‌شوند تا عدد صحیح شوند. این گام مجاز است، چون ضرب صورت و مخرج در یک عدد یکسان هرگز ارزش کسر را تغییر نمی‌دهد؛ و به همین دلیل هم توان ده باید از بلندترینِ آن دو ورودی گرفته شود، چون ضربی که فقط برای یکی کافی باشد، دیگری را کسری باقی می‌گذارد.

از آنجا به بعد همه‌چیز حساب عددهای صحیح است. الگوریتم اقلیدس بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک را پیدا می‌کند: عدد بزرگ‌تر را بر کوچک‌تر تقسیم کنید، سپس کوچک‌تر را بر باقی‌مانده، و تا صفر شدن باقی‌مانده ادامه دهید. مقسوم‌علیهی که در آن سطر آخر به کار رفته، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک است، و تقسیم هر دو نیمه بر آن، تمامِ ساده‌سازی است. گام‌ها در جدول زیر نتیجه نشان داده می‌شوند، چون آن جدول به‌جای تزیین، اثبات پاسخ است.

اعشار با تقسیم طولانی به دست می‌آید، نه با تقسیم دو عدد و دیدن آنچه درمی‌آید. هر گام باقی‌مانده را در ده ضرب می‌کند و دوباره تقسیم می‌کند، و هر باقی‌مانده‌ای که دیده شود ثبت می‌شود. تعداد باقی‌مانده‌های ممکن از مخرج بیشتر نیست، بنابراین دنباله یا باید به صفر برسد یا باقی‌مانده‌ای را تکرار کند که پیش‌تر داشته است — و اولین تکرار دقیقاً همان جایی است که بلوک متناوب آغاز می‌شود. به همین دلیل می‌توان به پرانتزها اعتماد کرد: آن‌ها حاصل تطبیق الگو روی رقم‌ها نیستند، بلکه همان نقطه‌ای‌اند که تقسیم به‌طور اثبات‌پذیر شروع به دور زدن کرده است.

پیش از ادامهٔ مطلب

الگوریتم اقلیدس روی ۱۰۷۱ و ۴۶۲ با سطر ۱۴۷ = ۷ × ۲۱ + ۰ تمام می‌شود. بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک چیست؟

• A۷ — عددی که در آن سطر ضرب شده است.

  آن خارج‌قسمت همان سطر است. الگوریتم هرگز از خارج‌قسمت‌ها برای چیزی استفاده نمی‌کند.

• B۲۱.

  بله: مقسوم‌علیه همان سطری که باقی‌مانده در آن به صفر رسید.

• C۱۴۷ — آخرین عددی که تقسیم شد.

  آن مقسوم است. ۴۶۲ بر ۱۴۷ بخش‌پذیر نیست، پس ۱۴۷ نمی‌تواند مقسوم‌علیه مشترک چیزی اینجا باشد.

۲۱ — مقسوم‌علیه همان سطری که باقی‌مانده در آن به صفر رسید. تقسیم هر دو نیمه بر آن، تمامِ ساده‌سازی است: ۱۰۷۱ ÷ ۲۱ = ۵۱ و ۴۶۲ ÷ ۲۱ = ۲۲، و ۵۱/۲۲ را نمی‌توان بیشتر ساده کرد، چون ۲۱ بزرگ‌ترین چنین عددی بود، نه صرفاً عددی که به کار می‌آمد. این الگوریتم حدود ۲٬۳۰۰ سال قدمت دارد و هنوز سریع‌ترین راه انجام این کار است؛ جدول زیر نتیجه، تک‌تک سطرهایش را چاپ می‌کند، چون آن جدول به‌جای تزیین، اثبات پاسخ است.

1. 1071 = 2 x 462 + 147

   بزرگ‌تر را بر کوچک‌تر تقسیم کنید و باقی‌مانده را نگه دارید. هر عددی که ۱۰۷۱ و ۴۶۲ بر آن بخش‌پذیرند، باید همان ۱۴۷ را هم بشمارد.

2.  462 = 3 x 147 +  21

   پس مسئله حالا همان جفت کوچک‌تر است، ۴۶۲ و ۱۴۷ — همان پرسش دربارهٔ عددهای کوچک‌تر.

3.  147 = 7 x  21 +   0

   باقی‌مانده صفر است، پس بایستید. ۲۱ عدد ۱۴۷ را دقیق تقسیم می‌کند و به حکم سطر بالایی، هر چه پیش از آن آمده را هم تقسیم می‌کند.

4. 1071 / 21 = 51,  462 / 21 = 22

   هر دو نیمه را بر آن تقسیم کنید. ۵۱/۲۲ در ساده‌ترین شکل است.

یک نمونه کار شده

۱۰۷۱/۴۶۲ را ساده کنید، همان جفتی که الگوریتم اقلیدس معمولاً با آن آموزش داده می‌شود.

در ساده‌ترین شکل	۵۱/۲۲
به‌صورت عدد مخلوط	۲ و ۷/۲۲
به‌صورت اعشار	۲٫۳(۱۸)
ساده‌شده بر	۲۱
اعشار گردشده	۲٫۳۱۸۱۸۱۸۲
به‌صورت درصد	۲۳۱٫۸۱۸۲٪

گام‌های کار:

1071 = 2 x 462 + 147
 462 = 3 x 147 +  21
 147 = 7 x  21 +   0     <- last divisor, so gcd = 21

1071 / 21 = 51
 462 / 21 = 22

51 / 22 = 2 remainder 7  ->  2 and 7/22

long division of 7 by 22, remainders in the margin:
  0.3   remainder 4
  0.31  remainder 18
  0.318 remainder 4      <- 4 has been seen, so 18 repeats

پس اعشار ۲٫۳(۱۸) است و ۲٫۳۱۸۱۸۱۸… دقیق است، نه گردشده. این‌ها همان عددهایی هستند که در فایل آزمون این ابزار تثبیت شده‌اند، بنابراین اگر فرمول بدون تغییر همزمان این صفحه عوض شود، فرایند ساخت شکست می‌خورد.

کاری که انجام نمی‌دهد

هر بار یک کسر را ساده می‌کند و دو کسر را با هم جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم نمی‌کند. اعشار متناوب را نمی‌تواند به‌عنوان ورودی بگیرد — راهی نیست که «صفر ممیز سهِ تکرارشونده» را در یک کادر عددی تایپ کنید، بنابراین ۰٫۳۳۳ دقیقاً همان خوانده می‌شود و به ۳۳۳/۱۰۰۰ ساده می‌شود. کسر ساده‌تری را هم که فقط نزدیک به مقدار واردشده باشد پیدا نمی‌کند؛ آن کار دیگری است غیر از ساده‌سازی و پاسخ دیگری می‌دهد. و هر جا عدد صحیح از آنچه یک عدد ممیز شناور دوتایی می‌تواند یکی‌یکی بشمارد بزرگ‌تر شود، کادرهای عددی کنار می‌کشند و خط تیره نشان می‌دهند؛ کسر، عدد مخلوط و اعشار متن‌اند و دقیق می‌مانند.

کسر یک نسبت هم هست. جایی که پرسش زیرین این است که یک عدد چقدر از عدد دیگر بزرگ‌تر است، درصد افزایش همان رابطه را به شکلی می‌دهد که بیشتر مردم انتظار خواندنش را دارند.