یک فرمول، اجراشده از دو سو
ماندهٔ پسانداز رشد میکند چون بهره به آن افزوده میشود، و بهرهٔ دورهٔ بعد روی رقم بزرگتر محاسبه میشود. ماندهٔ وام کوچک میشود چون شما بیش از بهره میپردازید، و بهرهٔ دورهٔ بعد روی رقم کوچکتر محاسبه میشود.
این یک سازوکار است، نه دو:
next balance = balance x (1 + rate) - payment
با پرداخت صفر و ماندهٔ مثبت، این معادله یک حساب پسانداز است که مرکب میشود. با پرداختی بزرگتر از بهره، وامی است که مستهلک میشود. هیچ چیز دیگری تغییر نمیکند.
و به همین دلیل سالهای اول اشتباه به نظر میرسند
- بهره۵۷٫۲۵۵۷٫۳٪
- کسر از مانده۴۲٫۷۵۴۲٫۸٪
رایجترین غافلگیری دربارهٔ وام مسکن: پس از سه سال قسط دادن، مانده بهسختی تکان خورده است.
بهره روی آنچه هنوز بدهکارید محاسبه میشود. در آغاز تقریباً همهٔ آن را بدهکارید، پس تقریباً همهٔ یک قسط ثابت را بهره میبلعد و فقط باریکهای به اصل وام میرسد. با پایین آمدن مانده، بهره هم با آن پایین میآید، و چون قسط ثابت میماند، هر ماه تکهٔ بزرگتری به اصل وام میرسد.
بنابراین جدول اقساط خطی نیست و هرگز نبوده است. همان منحنی رشد مرکب است، وارونه. جدول بازپرداخت دقیقاً به همین دلیل ارزش نگاه کردن دارد — نقطهٔ تقاطعی را نشان میدهد که از آن به بعد سهم بیشتری از قسط به بدهی میرود تا به وامدهنده، نقطهای که در یک دورهٔ معمول بیستوپنجساله بسیار دیرتر از آنچه مردم گمان میکنند فرا میرسد.
چرا اضافهپرداخت زودهنگام بسیار بیش از اضافهپرداخت دیرهنگام میارزد
یک پوند از اصل وام که امروز برداشته شود، برای کل مدت باقیمانده دیگر بهره نمیگیرد. پوندی که در سال آخر برداشته شود، یک سال بهره نمیگیرد.
این دو قابل مقایسه نیستند، و این تفاوت تمام دلیل وجود ماشینحسابهای اضافهپرداخت است. به همین دلیل هم ترتیب بیش از مبلغ اهمیت دارد: اضافهپرداختی نامنظم که زود انجام شود، از اضافهپرداختی بزرگتر که دیر انجام شود جلو میزند.
دو هشدار عملی. بسیاری از وامهای با نرخ ثابت برای اضافهپرداخت سالانه سقف میگذارند یا برای فراتر رفتن از آن کارمزد میگیرند، و کارمزد تسویهٔ زودهنگام میتواند این صرفهجویی را بهکلی پاک کند. و اضافهپرداختی که مدت را کم میکند محصولی متفاوت از آن است که قسط را کم میکند، هرچند هر دو همان مقدار از اصل وام را حذف کنند.
اسمی، مؤثر و APR
سه رقم که همگی یک وام را توصیف میکنند و عمداً با هم متفاوتاند.
نرخ اسمی. عدد اعلامی در سال، پیش از هر پرسشی دربارهٔ اینکه چند بار اعمال میشود.
نرخ مؤثر. آنچه نرخ اسمی واقعاً میشود وقتی بسامد مرکب شدن را در نظر بگیریم. ۱۲٪ که ماهانه مرکب شود، ۱۲٪ در سال نیست؛ ۱۲٫۶۸٪ است.
APR. نرخ مؤثر بهعلاوهٔ کارمزدهای اجباری، که به صورت یک رقم سالانه بیان میشود. وجود دارد تا بتوان دو وام را با هم مقایسه کرد، و وامدهندگان موظفاند آن را اعلام کنند دقیقاً به این دلیل که نرخ اسمی را میتوان بهتر از آنچه معامله واقعاً هست جلوه داد.
تبدیل میان دو رقم اول را باید دم دست داشت، چون فاصلهشان سریعتر از خود نرخ رشد میکند: در ۲٪ دو صدم واحد درصد است و در ۲۴٪ نزدیک به سه واحد درصد. APR و APY ابزار همین کار است، و پرسش مرکب شدن روزانه را هم حل میکند — در ۱۲٪ اسمی، مرکب شدن ماهانه ۹۱٪ از تمام چیزی را که تا حدِ مرکب شدن پیوسته در دسترس است به دست میآورد.
وقتی ماشینحسابی یک نرخ میخواهد، مهم است که کدامیک از این سه را وارد میکنید. وارد کردن APR به جای نرخ اسمی هزینه را بیش از واقع نشان میدهد؛ وارد کردن نرخ اسمی جایی که APR باید باشد آن را کمتر از واقع نشان میدهد.
حالت اعتبار گردان، که در آن پرداخت هم جابهجا میشود
پیش از ادامهٔ مطلب
ماندهٔ کارت اعتباری ۳٬۰۰۰ با نرخ ۲۲٫۹٪. کدام زودتر تسویهاش میکند — پرداخت حداقلِ ۲٪ که از ۱۱۷٫۲۵ شروع میشود، یا پرداخت ۱۰۰ ثابت در هر ماه؟
۱۰۰ ثابت، در ۴۵ ماه در برابر ۱۱۲. حداقل از ۱۱۷٫۲۵ شروع میشود و هر ماه با پایین آمدن مانده کمتر میشود، پس کمتر و کمتر برمیدارد؛ پرداخت ثابت تکان نمیخورد، پس بیشتر و بیشتر برمیدارد. نه سال و چهار ماه در برابر سه سال و نه ماه، و ۱٬۰۰۳٫۰۳ بهرهٔ بیشتر.
همهٔ آنچه بالا آمد یک قسط ثابت در برابر ماندهای رو به کاهش را فرض میکند. کارت اعتباری این فرض را به همان یک شکلی میشکند که اهمیت دارد: حداقل پرداخت درصدی از مانده است، پس با پایین آمدن مانده پایین میآید.
این سازوکار را وارونه میکند. در وام مسکن، قسط ثابت یعنی هر ماه سهم بزرگتری به اصل وام میرسد و تسویه شتاب میگیرد. در حداقلِ درصدی، پرداختِ رو به کاهش یعنی سهم رو به کاهشی به اصل میرسد، و مانده به صفر نزدیک میشود بیآنکه برسد. آنچه سرانجام کارت را تسویه میکند، کف ثابتِ زیر آن درصد است، نه خود درصد.
همهٔ مقدارها
| پرداخت ماهانه | زمان تا تسویه | بهرهٔ پرداختشده |
|---|---|---|
| ۶۰ | ۱۳ سال ۸ ماه | ۶٬۷۸۴٫۴۸ |
| ۷۰ | ۷ سال ۷ ماه | ۳٬۳۰۶٫۲۷ |
| ۸۰ | ۵ سال ۷ ماه | ۲٬۳۲۱٫۸۱ |
| ۹۰ | ۴ سال ۶ ماه | ۱٬۸۱۳٫۱۸ |
| ۱۰۰ | ۳ سال ۹ ماه | ۱٬۴۹۵٫۴۸ |
| ۱۱۰ | ۳ سال ۳ ماه | ۱٬۲۷۶٫۶۳ |
| ۱۲۰ | ۲ سال ۱۱ ماه | ۱٬۱۱۵٫۸۷ |
| ۱۳۰ | ۲ سال ۷ ماه | ۹۹۲٫۴ |
| ۱۴۰ | ۲ سال ۴ ماه | ۸۹۴٫۴ |
| ۱۵۰ | ۲ سال ۲ ماه | ۸۱۴٫۹۴ |
| ۱۶۰ | ۲ سال | ۷۴۸٫۸۶ |
| ۱۷۰ | ۱ سال ۱۰ ماه | ۶۹۳٫۱۱ |
| ۱۸۰ | ۱ سال ۹ ماه | ۶۴۵٫۴۳ |
| ۱۹۰ | ۱ سال ۷ ماه | ۶۰۳٫۹۴ |
| ۲۰۰ | ۱ سال ۶ ماه | ۵۶۸٫۰۹ |
| ۲۱۰ | ۱ سال ۵ ماه | ۵۳۶٫۳۲ |
| ۲۲۰ | ۱ سال ۴ ماه | ۵۰۷٫۹۴ |
| ۲۳۰ | ۱ سال ۴ ماه | ۴۸۲٫۸۸ |
| ۲۴۰ | ۱ سال ۳ ماه | ۴۶۰٫۴۷ |
| ۲۵۰ | ۱ سال ۲ ماه | ۴۳۹٫۸۱ |
| ۲۶۰ | ۱ سال ۲ ماه | ۴۲۱٫۰۷ |
| ۲۷۰ | ۱ سال ۱ ماه | ۴۰۴٫۳۳ |
| ۲۸۰ | ۱ سال ۱ ماه | ۳۸۸٫۳۴ |
| ۲۹۰ | ۱ سال | ۳۷۴٫۳۸ |
| ۳۰۰ | ۱ سال | ۳۶۰٫۹۷ |
دو چیز در آن کنترل ارزش توجه دارد. ماهها ابتدا بهتندی پایین میآیند و سپس هموار میشوند — اولین ۵۰ اضافه در ماه بسیار بیش از پنجمین ۵۰ میارزد. و بهره سریعتر از ماهها پایین میآید، چون بدهی کوتاهتر هم دفعات کمتری بهره میخورد و هم روی ماندهٔ کوچکتری.
اندازهٔ این تفاوت تا محاسبه نشود باورکردنی نیست. روی ۳٬۰۰۰ با نرخ ۲۲٫۹٪، حداقلِ ۲٪ از ۱۱۷٫۲۵ شروع میشود — بیشتر از پرداخت ثابت ۱۰۰ — و با این حال ۱۱۲ ماه در برابر ۴۵ ماه طول میکشد، چون همانجا نمیماند. ثابت نگه داشتن پرداخت روی همان رقم اول، کارت را در ۳۶ ماه تسویه میکند.
حل کردن برای پرداخت به جای مانده
مسیر دیگری که مردم از آن میآیند یک هدف است نه یک برنامه: نه «این چه میشود» بلکه «چقدر باید بگذارم». این همان معادلهٔ اقساط (annuity) است که به جای ارزش آینده، برای مبلغ واریزی حل شده، و همان چیزی است که هدف پسانداز حساب میکند.
دو نکته از آن بیرون میآید که پیش از اجرای اعداد دانستنشان میارزد. نصف کردن زمان، مبلغ ماهانه را بیش از دو برابر میکند، چون تعداد پرداختها نصف است و هر کدام نصف مدت مرکب میشود. و در افق کوتاه، واریزیها تقریباً همهٔ کار را میکنند — در پنج سال با ۴٪، بازده حدود یکدهم کل را تأمین میکند، پس نرخ فرضی تقریباً بیاهمیت است. در سی سال این نسبت کاملاً برعکس میشود.
پول هرگز عدد ممیز شناور نیست
یک نکتهٔ پیادهسازی که جایش در راهنماست نه در پاورقی، چون روی هر رقمی که بالا آمد اثر میگذارد.
ممیز شناور دودویی نمیتواند ۰٫۱ را دقیق نمایش دهد، بنابراین جدول اقساطی که با آن محاسبه شود رانش پیدا میکند — چند پنی در طول سیصد پرداخت، که کافی است تا جمع کل با جمع سطرهای خودش نخواند. هر ابزار پولی در اینجا به جای آن از حساب اعشاری استفاده میکند، و آزمونها هر پنی را در هر نرخ میپیمایند تا ثابت کنند ستونها با هم تطبیق دارند.
پرسشهای رایج
چرا قسطهای اول وام مسکن من تقریباً همهاش بهره است؟
چون بهره روی آنچه هنوز بدهکارید محاسبه میشود، و در آغاز تقریباً همهٔ آن را بدهکارید. قسط مبلغی ثابت است، بنابراین هر چه را که بهره نمیبلعد به مانده میرود — ابتدا تکهای کوچک، که هر ماه با پایین آمدن مانده بزرگتر میشود. چیزی از شما دریغ نمیشود؛ این حساب یک قسط ثابت در برابر بدهیای رو به کاهش است.
تفاوت نرخ اسمی و APR چیست؟
نرخ اسمی همان عدد اعلامیِ سالانه است، بدون توجه به اینکه چند بار مرکب میشود و بدون هیچ کارمزدی. APR بسامد مرکب شدن و بیشتر هزینههای اجباری را در خود جا میدهد، و دقیقاً به همین دلیل رقمی است که وامدهندگان موظفاند تبلیغ کنند: دو وام با نرخ اسمی یکسان میتوانند APRهای متفاوتی داشته باشند، و APR همان است که میتوانید مقایسه کنید.
آیا پرداخت اضافی زودهنگام واقعاً اینقدر صرفهجویی میکند؟
بیش از آنچه بیشتر مردم انتظار دارند، چون هر پوند از اصل وام که زود برداشته شود، برای کل مدت باقیمانده دیگر بهره نمیگیرد. همان اضافهپرداخت در سال اول و در سال بیستم یک وام مسکن بیستوپنجساله اصلاً همارز نیستند. اول کارمزدهای تسویهٔ زودهنگام را بررسی کنید، که میتوانند این مزیت را یکجا از بین ببرند.
چرا یک تغییر کوچک نرخ، جمع کل را اینقدر جابهجا میکند؟
چون روی ماندهای بزرگ و برای مدتی طولانی اعمال میشود، و مرکب شدن ضرب میکند نه جمع. در یک وام مسکن بیستوپنجساله، بهرهٔ پرداختی کسر قابل توجهی از خود وام است، بنابراین تغییری به اندازهٔ نیم واحد درصد عددی را جابهجا میکند که همین حالا هم بزرگ است. این اثر هم با مانده و هم با مدت بزرگتر میشود.