هر ماه چقدر کنار بگذاریم تا به هدف برسیم

این ابزار چه چیزی را محاسبه می‌کند

مبلغ ماهانه‌ای که شما را تا یک تاریخ به یک هدف می‌رساند. بهره مرکب می‌پرسد یک برنامه به چه چیزی می‌رسد؛ این ابزار می‌پرسد برنامه باید چه باشد، که همان پرسشی است که مردم واقعاً با آن می‌آیند.

جدول زیر موجودی سال به سال است، تا ببینید بازده از چه زمانی شروع به کمک می‌کند و تا چه زمانی هنوز فقط پول خودتان است.

یک فرمول است، بازآرایی‌شده

ارزش آینده یک مبلغ اولیه به‌علاوه یک پرداخت ماهانه ثابت، استاندارد است:

FV = P x (1+i)^n  +  M x ((1+i)^n - 1) / i

همه‌چیز در آن معلوم است جز M. بازآرایی برای پرداخت:

M = (FV - P x (1+i)^n) x i / ((1+i)^n - 1)

جمله اول شکافی است که واریزها باید ببندند: هدف، منهای آنچه مبلغ اولیه به‌خودی‌خود به آن رشد می‌کند. جمله دوم ضریب اقساط است که یک مبلغ یک‌جا را به یک پرداخت ثابت تبدیل می‌کند.

سپس برنامه با حلقه معمولی از آن پاسخ به جلو اجرا می‌شود، نه اینکه از آن مشتق شود. این عمدی است — اگر جبر بازآرایی‌شده اشتباه بود، جدول جایی غیر از هدف تمام می‌شد و همین را می‌گفت. یک آزمون دقیقاً همین را روی پنج نرخ، پنج افق و سه مبلغ اولیه ادعا می‌کند، که جدول را به‌جای تزئینی روی فرمول، به یک بررسی برای آن تبدیل می‌کند.

شاخه نرخ صفر یک مورد حاشیه‌ای نیست

با نرخ صفر، ضریب اقساط بر صفر تقسیم می‌شود. این ورودی نامتعارفی نیست — پول در یک حساب جاری است، یا یک برنامه عمداً بدبینانه.

ضریب ((1+i)^n - 1) / i در آنجا حد n دارد، پس شاخه این است:

M = (FV - P) / n

کسری، به‌طور مساوی روی ماه‌ها پخش می‌شود، که آشکارا درست است و به همین دلیل این شاخه به‌جای محافظت در برابرش، نوشته شده است.

زمان بر نرخ می‌چربد، تا وقتی که نچربد

این دو اهرم کاملاً متفاوت رفتار می‌کنند، و در افق کوتاه نتیجه خلاف شهود است:

سال‌ها	ماهانه لازم
۳	۴۹۴٫۲۹
۵	۲۸۳٫۲۵
۱۰	۱۲۵٫۷۰

پیش از ادامهٔ مطلب

در ده سال به ۲۰۰۰۰ نیاز دارید و برای رسیدن به آن ماهانه ۱۲۵٫۷۰ پس‌انداز می‌کنید. اگر مهلت را به پنج سال نصف کنید، مبلغ ماهانه چه می‌شود؟

• Aدو برابر می‌شود، حدود ۲۵۱.

  این پاسخ شهودی است، و بیش از ۳۰ در ماه کم دارد.

• Bبیش از دو برابر می‌شود.

  بله — دو بار ضرر می‌کنید.

• Cکمتر از دو برابر می‌شود، چون زمان کمتری برای اثرگذاری بازده هست.

  بازده کمتر اهمیت دارد، اما این رقم را بالا می‌برد نه پایین.

بیش از دو برابر می‌شود و به ۲۸۳٫۲۵ می‌رسد. دو بار ضرر می‌کنید: تعداد پرداخت‌ها نصف است، و هر کدام نصف مدت مرکب می‌شود. این دو اثر به‌جای جمع، در هم ضرب می‌شوند، و به همین دلیل رقم ماهانه همیشه سریع‌تر از کاهش زمان بالا می‌رود.

نصف‌کردن زمان از ده سال به پنج سال، رقم ماهانه را از ۱۲۵٫۷۰ به ۲۸۳٫۲۵ می‌رساند، بیش از دو برابر. تعداد پرداخت‌ها نصف است و هر کدام نصف مدت مرکب می‌شود، و این دو اثر در هم ضرب می‌شوند.

در پنج سال، بازده حدود ۲۰۰۵ از ۲۰۰۰۰ را می‌سازد — یک‌دهم. در سی سال با همان نرخ، بیشترِ آن را می‌ساخت. افق‌های کوتاه درباره واریزها هستند؛ افق‌های بلند درباره نرخ، و جدول خود ابزار نشان می‌دهد در کدام وضعیت هستید.

یک مثال حل‌شده

۲۰۰۰۰ در پنج سال، با شروع از ۱۰۰۰، با بازده ۴٪:

پس‌انداز هر ماه	۲۸۳٫۲۵
مجموع واریزی	۱۷٬۹۹۴٫۸۴
سهم بهره	۲۰۰۵٫۱۶
موجودی نهایی	۲۰٬۰۰۰٫۰۰

رقم دوم و سوم دقیقاً به رقم چهارم جمع می‌شوند. «مجموع واریزی» شامل ۱۰۰۰ اولیه‌ای است که با آن شروع کرده‌اید، که همان معنای ستون «واریزی» در برنامه است — این دو پیش‌تر دقیقاً به اندازه همان مبلغ اولیه با هم فرق داشتند، که از آن نوع اختلاف‌هایی است که هیچ‌کس تا اعداد را جمع نزند متوجهش نمی‌شود.

با بازده صفر. همان هدف به ۳۱۶٫۶۷ در ماه نیاز دارد، چون ۱۹۰۰۰ پخش‌شده روی ۶۰ ماه تمام چیزی است که هست.

این‌ها همان ارقامی هستند که در فایل آزمون این ابزار ادعا شده‌اند، پس صفحه و فرمول نمی‌توانند بدون قرمزشدن بیلد از هم جدا شوند.

کاری که انجام نمی‌دهد

بازده ثابتی را فرض می‌کند که هیچ‌چیز ندارد. مالیات، کارمزد پلتفرم یا کارمزد صندوق را مدل نمی‌کند، که هر کدام مستقیماً از نرخ کم می‌شوند. هدف را برای تورم تعدیل نمی‌کند — ۲۰۰۰۰ در پنج سال کمتر از آنچه ۲۰۰۰۰ امروز می‌خرد خواهد خرید، و این پرسش جداگانه‌ای است که این کاتالوگ جداگانه به آن پاسخ می‌دهد. واریزهای متغیر یا یک‌باره، یا برداشت در میانه راه را پشتیبانی نمی‌کند.

برای جهت مستقیم — اینکه یک مبلغ ماهانه معین به چه چیزی می‌رسد — بهره مرکب ابزار مناسب است.

ارزش آیندهٔ مبلغ آغازین و پرداخت ثابت ماهانه، طی n ماه با نرخ ماهانهٔ i:

  FV = P x (1+i)^n + M x ((1+i)^n - 1) / i

حل فرمول برای پرداخت ماهانه:

  M = (FV - P x (1+i)^n) x i / ((1+i)^n - 1)

اگر نرخ صفر باشد، ضریب سالیانه برابر n است:

  M = (FV - P) / n

i = نرخ سالانه / ۱۰۰ / ۱۲
n = تعداد سال‌ها x ۱۲

پرداخت‌ها در پایان هر ماه انجام می‌شوند؛ یعنی سالیانهٔ عادی.