نرخ اسمی آن چیزی نیست که واقعاً می‌پردازید

این ابزار چه چیزی را محاسبه می‌کند

شکاف بین نرخی که اعلام می‌شود و نرخی که گرفته می‌شود. یک نرخ اسمی و دفعات ترکیب را وارد کنید تا نرخ مؤثر سالانه را بدهد؛ یک نرخ مؤثر وارد کنید تا نرخ اسمی‌ای را بدهد که آن را تولید می‌کند.

جدول زیر همان نرخ اسمی را هم‌زمان با هر تعداد دفعات ترکیب اعمال می‌کند، که مقایسه‌ای است که ارزش دیدن دارد.

چرا اصلاً دو عدد وجود دارد

نرخ اسمی سالانه، نرخ هر دوره ضرب در تعداد دوره‌هاست. همه‌اش همین است. ۱٪ در ماه به‌عنوان ۱۲٪ در سال اعلام می‌شود، و این ضرب این واقعیت را کنار می‌گذارد که بهرهٔ ماه دوم روی مانده‌ای محاسبه می‌شود که بهرهٔ ماه اول را هم در خود دارد.

نرخ مؤثر آن را برمی‌گرداند:

effective = (1 + 0.12/12)^12 - 1
          = 1.01^12 - 1
          = 12.6825%

دو سوم واحد درصد، روی نرخی که هر دو طرف آن را ۱۲٪ می‌نامند. این خطای گردکردن نیست و اختیاری هم نیست — این همان چیزی است که واقعاً بر سر پول می‌آید.

تقریباً همه‌اش تا ماهانه به دست می‌آید

همان ۱۲٪ اسمی، با هر تعداد دفعات ترکیبی که این ابزار ارائه می‌دهد:

ترکیب بهره	دوره‌ها	هر دوره	مؤثر
سالانه	۱	۱۲٪	۱۲٪
شش‌ماهه	۲	۶٪	۱۲٫۳۶٪
فصلی	۴	۳٪	۱۲٫۵۵۰۹٪
ماهانه	۱۲	۱٪	۱۲٫۶۸۲۵٪
هفتگی	۵۲	۰٫۲۳۰۸٪	۱۲٫۷۳۴۱٪
روزانه	۳۶۵	۰٫۰۳۲۹٪	۱۲٫۷۴۷۵٪
پیوسته	—	—	۱۲٫۷۴۹۷٪

پیش از ادامهٔ مطلب

یک حساب پس‌انداز ۱۲٪ اسمی می‌دهد. یک ارائه‌دهنده آن را ماهانه و دیگری روزانه ترکیب می‌کند. ترکیب روزانه در طول یک سال چقدر بیشتر برای شما درآمد دارد؟

• Aحدود نیم واحد درصد.

  این تقریباً فاصلهٔ سالانه تا ماهانه است، نه ماهانه تا روزانه.

• Bحدود شش صدم واحد درصد.

  بله — ۱۲٫۶۸۲۵٪ در مقابل ۱۲٫۷۴۷۵٪.

• Cاصلاً هیچ — نرخ اسمی یکسان است.

  تفاوت واقعی است، فقط بسیار کوچک است.

۰٫۰۶۵ واحد درصد: ۱۲٫۶۸۲۵٪ با ترکیب ماهانه در مقابل ۱۲٫۷۴۷۵٪ با ترکیب روزانه. ترکیب ماهانه به‌تنهایی ۹۱٪ از کل فاصلهٔ میان سالانه و حد پیوسته را می‌گیرد، و به همین دلیل دفعات ترکیب تقریباً هرگز جایی نیست که تصمیم بر آن بچرخد. نرخ است که مهم است.

کل دامنه ۰٫۷۴۹۷ واحد درصد است و ترکیب ماهانه حدود ۹۱٪ از آن را می‌گیرد. همه‌چیز از ماهانه تا حد پیوسته شش و نیم صدم واحد است.

این نتیجهٔ مفید است، و خلاف این شهود است که ترکیب روزانه معاملهٔ به‌مراتب بهتری است. نیست. نرخ مهم است؛ دفعات ترکیب تقریباً هرگز.

ترکیب پیوسته یک حد است، نه یک محصول. با افزایش تعداد دوره‌ها، عبارت به e^r - 1 همگرا می‌شود، و سریع همگرا می‌شود. اینجاست چون فرم بسته‌ای است که بقیه به آن نزدیک می‌شوند، و چون دیدن اینکه روزانه و پیوسته در رقم سوم اعشار با هم فرق دارند، تکلیف این پرسش را روشن می‌کند.

شکاف با نرخ بزرگ می‌شود

در نرخ‌های کوچک این تمایز نظری است. در نرخ‌های کارت اعتباری، نه:

 2% nominal, monthly  ->   2.0184% effective   a gap of 0.02
12% nominal, monthly  ->  12.6825% effective   a gap of 0.68
24% nominal, monthly  ->  26.8242% effective   a gap of 2.82

شکاف سریع‌تر از نرخ رشد می‌کند، و دقیقاً به همین دلیل نادیده‌گرفتنش روی حساب پس‌انداز بی‌خطر و روی بدهی گران است. کارتی که ۲۲٫۹٪ را تبلیغ می‌کند، روی مانده‌ای که تمام سال باقی بماند، در عمل ۲۵٫۴۶۳۲٪ هزینه دارد.

روش

این دو جهت دقیقاً معکوس یکدیگرند، و آزمون‌ها بر همین ویژگی تکیه می‌کنند: نرخی که از یک سو تبدیل و دوباره بازگردانده شود باید به همان جایی برسد که شروع کرده بود. یک گزارهٔ آزمون، روی شش نرخ و هفت دفعات ترکیب، عملاً هر لغزش جبری در هر دو جهت را می‌گیرد — که بیش از جدولی از پاسخ‌های مورد انتظار می‌ارزد که باید در کنار کد نگهداری شود.

همه‌چیز در حساب اعشاری با یک دقت واحد محاسبه می‌شود، از جمله شاخهٔ پیوسته که به‌جای exp و ln ممیز شناور از نسخهٔ اعشاری آن‌ها استفاده می‌کند، تا کل ماژول با یک استاندارد کار کند.

هیچ‌چیز در این صفحه پول نیست. هر فیلد و هر خروجی یک درصد است، و به همین دلیل هیچ نماد ارزی در هیچ جا نیست — تبدیل نرخ در هر کشوری یکسان است، و ثابت‌کردن یک ارز صفحه را برای همهٔ افراد خارج از آن اشتباه می‌کرد.

یک مثال حل‌شده

۱۲٪ با ترکیب ماهانه:

نرخ مؤثر سالانه	۱۲٫۶۸۲۵٪
نرخ اسمی سالانه	۱۲٪
نرخ هر دوره	۱٪
دوره‌ها در سال	۱۲

در جهت مخالف — ۱۲٫۶۸۲۵٪ مؤثر با ترکیب ماهانه — نرخ اسمی به ۱۲٪ برمی‌گردد.

مورد کارت اعتباری. ۲۲٫۹٪ اسمی با ترکیب ماهانه، ۲۵٫۴۶۳۲٪ مؤثر است.

این‌ها همان ارقامی هستند که در فایل آزمون این ابزار ادعا شده‌اند، پس صفحه و فرمول نمی‌توانند بدون قرمزشدن بیلد از هم جدا شوند.

کاری که انجام نمی‌دهد

کارمزدها را شامل نمی‌شود، و این محدودیت مهم است: APR قانونی در بیشتر حوزه‌های قضایی علاوه بر ترکیب بهره، هزینه‌های اجباری را هم در رقم می‌گنجاند، پس APR قانونی و نرخ مؤثر اینجا همیشه یک عدد نیستند. نرخ متغیر را پشتیبانی نمی‌کند، که هیچ رقم مؤثر واحدی ندارد. قراردادهای شمارش روز را هم مدل نمی‌کند — اینکه نرخ «روزانه» بر ۳۶۰، ۳۶۵ یا ۳۶۶ تقسیم شود، در هر بازار فرق دارد.

برای اینکه یک نرخ در طول زمان با یک مانده واقعی چه می‌کند، بهره مرکب و برنامه پرداخت کارت اعتباری ابزارهای مناسب‌اند.

تبدیل نرخ اسمی به نرخ مؤثر:

  effective = (1 + nominal/n)^n - 1

و تبدیل معکوس:

  nominal = n x ((1 + effective)^(1/n) - 1)

در بهرهٔ پیوسته، حد فرمول با بزرگ‌شدن n:

  effective = e^nominal - 1
  nominal   = ln(1 + effective)

n = تعداد دوره‌ها در سال: ۱، ۲، ۴، ۱۲، ۵۲ یا ۳۶۵

این دو جهت دقیقاً معکوس یکدیگرند؛ این ویژگی آزموده می‌شود و صرفاً فرض نشده است.