ارزش پول امروز در آینده

این ابزار چه چیزی را حساب می‌کند

این‌که یک مبلغ پول بعداً واقعاً چه می‌خرد، و بعداً چه مبلغی لازم است تا آنچه امروز می‌خرد خریده شود. دو پرسش، یک محاسبه، که عمداً کنار هم گزارش می‌شوند.

جدول پایین مسیر سال‌به‌سال است، تا شکل منحنی دیده شود، نه فقط نقطهٔ پایان آن.

یک واقعیت، از دو سر

قیمت‌ها با ضریبی مرکب بالا می‌روند. باقی همه از همین یک ضریب درمی‌آید:

پس از ۲۰ سال با نرخ ۳٪،  prices = 1.03^20 = 1.8061

آنچه ۱٬۰۰۰ خواهد خرید   = 1,000 / 1.8061 = 553.68
آنچه لازم خواهید داشت    = 1,000 x 1.8061 = 1,806.11

این دو عدد معکوس یکدیگرند، و حاصل‌ضربشان مجذور مبلغ اولیه است — ویژگی‌ای که آزمون‌ها در هر نرخ و هر افقی می‌سنجند، چون بدون جدولی از پاسخ‌های انتظاری برقرار است.

این دو، یک جمله‌اند که به دو شکل گفته می‌شود، و تنها یکی از آن‌ها آدم‌ها را به کار وامی‌دارد. «پول ۴۵ درصد از ارزشش را از دست می‌دهد» جمله‌ای است که می‌شود به آن سر تکان داد. «همان خرید ۱٬۸۰۶ آب می‌خورد» نه.

مرکب می‌شود، و به همین دلیل اعداد غافلگیر می‌کنند

بیست سال با نرخ ۳٪ برابر ۶۰٪ نیست. تورم دقیقاً همان‌طور مرکب می‌شود که بهره مرکب می‌شود، فقط علیه شما:

سال با نرخ ۳٪	آنچه ۱٬۰۰۰ می‌خرد	آنچه لازم خواهید داشت
۱	۹۷۰٫۸۷	۱٬۰۳۰٫۰۰
۵	۸۶۲٫۶۱	۱٬۱۵۹٫۲۷
۱۰	۷۴۴٫۰۹	۱٬۳۴۳٫۹۲
۲۰	۵۵۳٫۶۸	۱٬۸۰۶٫۱۱
۳۰	۴۱۱٫۹۹	۲٬۴۲۷٫۲۶

قدرت خرید ۱٬۰۰۰

۵۵۳٫۶۸

مبلغ موردنیاز

۱٬۸۰۶٫۱۱

سال‌های آینده

۲۰

همهٔ مقدارها

سال‌های آینده	قدرت خرید ۱٬۰۰۰	مبلغ موردنیاز
۱	۹۷۰٫۸۷	۱٬۰۳۰
۲	۹۴۲٫۶	۱٬۰۶۰٫۹
۳	۹۱۵٫۱۴	۱٬۰۹۲٫۷۳
۴	۸۸۸٫۴۹	۱٬۱۲۵٫۵۱
۵	۸۶۲٫۶۱	۱٬۱۵۹٫۲۷
۶	۸۳۷٫۴۸	۱٬۱۹۴٫۰۵
۷	۸۱۳٫۰۹	۱٬۲۲۹٫۸۷
۸	۷۸۹٫۴۱	۱٬۲۶۶٫۷۷
۹	۷۶۶٫۴۲	۱٬۳۰۴٫۷۷
۱۰	۷۴۴٫۰۹	۱٬۳۴۳٫۹۲
۱۱	۷۲۲٫۴۲	۱٬۳۸۴٫۲۳
۱۲	۷۰۱٫۳۸	۱٬۴۲۵٫۷۶
۱۳	۶۸۰٫۹۵	۱٬۴۶۸٫۵۳
۱۴	۶۶۱٫۱۲	۱٬۵۱۲٫۵۹
۱۵	۶۴۱٫۸۶	۱٬۵۵۷٫۹۷
۱۶	۶۲۳٫۱۷	۱٬۶۰۴٫۷۱
۱۷	۶۰۵٫۰۲	۱٬۶۵۲٫۸۵
۱۸	۵۸۷٫۳۹	۱٬۷۰۲٫۴۳
۱۹	۵۷۰٫۲۹	۱٬۷۵۳٫۵۱
۲۰	۵۵۳٫۶۸	۱٬۸۰۶٫۱۱
۲۱	۵۳۷٫۵۵	۱٬۸۶۰٫۲۹
۲۲	۵۲۱٫۸۹	۱٬۹۱۶٫۱
۲۳	۵۰۶٫۶۹	۱٬۹۷۳٫۵۹
۲۴	۴۹۱٫۹۳	۲٬۰۳۲٫۷۹
۲۵	۴۷۷٫۶۱	۲٬۰۹۳٫۷۸
۲۶	۴۶۳٫۶۹	۲٬۱۵۶٫۵۹
۲۷	۴۵۰٫۱۹	۲٬۲۲۱٫۲۹
۲۸	۴۳۷٫۰۸	۲٬۲۸۷٫۹۳
۲۹	۴۲۴٫۳۵	۲٬۳۵۶٫۵۷
۳۰	۴۱۱٫۹۹	۲٬۴۲۷٫۲۶
۳۱	۳۹۹٫۹۹	۲٬۵۰۰٫۰۸
۳۲	۳۸۸٫۳۴	۲٬۵۷۵٫۰۸
۳۳	۳۷۷٫۰۳	۲٬۶۵۲٫۳۴
۳۴	۳۶۶٫۰۴	۲٬۷۳۱٫۹۱
۳۵	۳۵۵٫۳۸	۲٬۸۱۳٫۸۶
۳۶	۳۴۵٫۰۳	۲٬۸۹۸٫۲۸
۳۷	۳۳۴٫۹۸	۲٬۹۸۵٫۲۳
۳۸	۳۲۵٫۲۳	۳٬۰۷۴٫۷۸
۳۹	۳۱۵٫۷۵	۳٬۱۶۷٫۰۳
۴۰	۳۰۶٫۵۶	۳٬۲۶۲٫۰۴

زمان نصف‌شدن رقمی است که ارزش به‌خاطر سپردن دارد و مستقیماً گزارش می‌شود: با نرخ ۳٪ ارزش پول در ۲۳٫۴ سال نصف می‌شود، با ۶٪ در ۱۱٫۹ سال و با ۱۲٪ در ۶٫۱ سال.

قانون ۷۲ نزدیک می‌شود — ۷۲ تقسیم بر نرخ — و تقریبی است که برای میانهٔ دامنهٔ خود تنظیم شده. با ۳٪ می‌گوید ۲۴ سال و با ۱۲٪ می‌گوید ۶ سال، در برابر مقدارهای واقعی ۲۳٫۴ و ۶٫۱. این ابزار لگاریتم را حساب می‌کند، چون دلیلی ندارد تقریبِ کسِ دیگری را به ارث ببرد.

بازده واقعی یک نسبت است، نه یک تفریق

فیلد پیشرفته همان چیزی است که این صفحه را صادق نگه می‌دارد. وقتی روی صفر باشد، پول نقد را مدل می‌کند که حالت بدبینانه است؛ پول واقعی معمولاً چیزی بازده می‌دهد.

تله در شیوهٔ ترکیب این دو است:

بازده ۸٪ در برابر تورم ۶٪

تقریب:  8 - 6             = 2%
دقیق:   (1.08 / 1.06) - 1 = 1.8868%

یک‌دهم واحد درصد، که به نظر هیچ می‌آید. در طول سی سال روی ۱٬۰۰۰ همین می‌شود تفاوت میان ۱۸۱۱٫۳۶ و ۱۷۵۲٫۰۱ — تقریب ۵۹ واحد سخاوتمندانه‌تر است، که حدود یک‌بیستم پاسخ می‌شود.

تفریق در اعداد کوچک نزدیک است و هر چه هر یک از دو نرخ بالاتر برود بیشتر فاصله می‌گیرد؛ همان شکلی که هر تقریب دیگری در این سایت دارد: آنجا که مهم نیست خوب است و آنجا که مهم است نادرست.

وقتی بازده از تورم جلو بزند، رقم «ازدست‌رفته بر اثر تورم» منفی می‌شود. این عمدی است، نه یک اشکال — از دست دادن مقداری منفی سودی واقعی است، و همین یک خروجی را در هر دو جهت به یک معنا نگه می‌دارد.

یک نمونهٔ حل‌شده

۱٬۰۰۰، بیست سال، تورم ۳ درصد، نگه‌داشته به‌صورت نقد:

آنچه خواهد خرید	۵۵۳٫۶۸
آنچه لازم خواهید داشت	۱٬۸۰۶٫۱۱
ازدست‌رفته بر اثر تورم	۴۴۶٫۳۲
سال‌ها تا نصف‌شدن ارزش	۲۳٫۴

با بازده. همان ۱٬۰۰۰ در طول سی سال، با بازده ۸٪ در برابر تورم ۶٪، به پول امروز ۱۷۵۲٫۰۱ می‌ارزد — سودی واقعی، و ۵۹ کمتر از آنچه تقریبِ تفریق وعده می‌داد.

این‌ها همان ارقامی هستند که در فایل آزمون این ابزار ادعا شده‌اند، پس صفحه و فرمول نمی‌توانند بدون قرمزشدن ساخت از هم جدا بیفتند.

کاری که انجام نمی‌دهد

از یک نرخ ثابت استفاده می‌کند، و تورم هیچ شباهتی به یک نرخ ثابت ندارد. به‌جای شاخص منتشرشده از نرخی استفاده می‌کند که شما وارد می‌کنید، چون شاخص درستِ یگانه‌ای وجود ندارد — رقم ملی سبدی است که برای خانوار متوسط وزن‌دهی شده، و اگر اجاره و انرژی سهم بزرگی از مخارج شما باشند، نرخ تجربه‌شدهٔ شما می‌تواند سال‌ها بسیار بالاتر از آن بماند. مالیات و کارمزدهای روی بازده را مدل نمی‌کند، که هر دو مستقیماً از آن کم می‌شوند. و به یک مبلغ پول نگاه می‌کند، نه به یک بدهی، که در آن اثر تورم در جهت دیگری کار می‌کند و به سود وام‌گیرنده است.

برای این‌که ببینید یک بازده به‌تنهایی چه می‌کند، ابزارش سود مرکب است؛ و برای این‌که ببینید ماهانه چه مبلغی باید کنار بگذارید تا به هدفی برسید، ماشین‌حساب هدف پس‌انداز.

قیمت‌ها با ضریبی مرکب بالا می‌روند:
  prices = (1 + inflation)^years

دو جهت محاسبه از همین ضریب:
  قدرت خرید آینده = amount / prices
  مبلغ لازم در آینده = amount x prices

اگر پول بازده داشته باشد:
  nominal = amount x (1 + growth)^years
  real    = nominal / prices

نرخ رشد واقعی:
  real rate = (1 + growth) / (1 + inflation) - 1

کم‌کردن سادهٔ تورم از بازده فقط یک تقریب است؛
در اعداد کوچک نزدیک است و همان‌جا که اهمیت دارد نادرست.

سال‌های لازم برای نصف‌شدن قدرت خرید = ln(۲) / ln(۱ + inflation)